全微分计算 Total Differential
🔍 第一步：扫一眼题目考啥
你看，这道题问的是在(0,1)这个点的全微分。全微分的公式咱们都熟吧？就是 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。所以要做的事很明确——先把两个偏导求出来，再把(0,1)代进去。没有弯弯绕绕，就是直来直去的计算题。
🔍 第二步：把条件翻译成数学
咱们来看看这个z长什么样：z = ex+y + x ln(1+y)。对x求偏导的时候，ln(1+y)就是个常数——它里面没有x对吧？所以x ln(1+y)对x求导就是ln(1+y)，然后ex+y对x求导还是ex+y。同理，对y求偏导的时候，x就变成了常数，ex+y对y求导仍是ex+y，而x ln(1+y)对y求导要用一下复合求导：x/(1+y)。
🔍 第三步：找到最省事的突破口
最妙的地方来了——咱们把(0,1)代进去一看，瞬间清爽！e0+1=e，ln(1+1)=ln2，而x=0让x/(1+y)=0。你看，连ln2都保留了原样没被消掉，而x那一项直接没了。于是两个偏导的值就是e+ln2和e，干净利落。
🔍 第四步：提前踩准容易踩的坑
这道题虽然简单，但有两个坑每年都有人跳：第一个坑——忘了写dx、dy，只写了偏导的值就交卷。全微分全微分，缺了微分符号还叫全微分吗？第二个坑——偏导求对了但忘了代点，把含x,y的表达式直接交上去了。题目明明白白要的是在(0,1)处的值，不是通式。
🎯 出题意图
考察全微分公式 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dydz = 全微分
∂z/∂x = 对 x 的偏导数
dx = x 的微小增量 的掌握。核心是先求两个偏导再代入点——没有捷径。
🧪 自测：全微分 dz 的公式是？
平面夹角 Angle Between Planes
🔍 第一步：扫一眼题目考啥
题目问的是两个平面的夹角。咱们都知道，平面之间的夹角怎么算？说白了就等价于它俩法向量之间的夹角（取锐角那个）。所以第一步很简单——把这两个平面的法向量揪出来就行！
🔍 第二步：把条件翻译成数学
平面一般式 Ax+By+Cz+D=0，法向量就是(A,B,C)三兄弟，千万别把常数D也拉进来——它管的是位置，不关方向的事。所以第一个平面：n₁=(1, k, −2)；第二个：n₂=(2, −3, 1)。夹角π/4就是cosθ=√2/2。公式还记得吗？cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)，加绝对值是因为咱取锐角。
🔍 第三步：找到最省事的突破口
n₁·n₂算出来是−3k——你看多巧，x和z的贡献刚好抵消（2−2=0），只留下k那一项。模长也不难：|n₁|=√(k²+5)，|n₂|=√14。把一切都塞进夹角公式，两边一平方，根号全消掉，得到7(k²+5)=9k²，整理就是2k²=35，k = ±√(35/2)。注意正负两个都合法，因为平方把符号信息丢掉了！
🔍 第四步：提前踩准容易踩的坑
最容易掉进去的坑有三个：①法向量只取(A,B,C)，不要把常数D也算进去——D是管平移的，不参与方向；②别只写正的k解，别忘了绝对值一平方就分不出正负了，所以±都要写；③(−2)²=4，小细节别马虎。
🎯 出题意图
两平面夹角 = 两法向量的夹角（取锐角）。关键：从一般式方程直接读法向量 (A, B, C)。
🧪 平面 Ax+By+Cz+D=0 的法向量是？
隐函数偏导数 Implicit Partial Derivative
🔍 第一步：扫一眼题目考啥
这道题看着短，但其实藏着链式法则的精髓。你看，题目说f(x, x³)恒等于常数c——这就意味着不管x取什么值，沿着曲线y=x³走，函数值都不变。换句话说，这家伙沿这条曲线的"变化率为零"！怎么把这句话翻译成数学？对x求全导数！
🔍 第二步：把条件翻译成数学
f(x,x³)对x求全导数，注意x出现了两次——第一个参数是x本身，第二个参数x³里也藏着x。所以要用链式法则：d/dx f(x, x³) = ∂f/∂x + ∂f/∂y · (x³)' = ∂f/∂x + ∂f/∂y · 3x²。等于0是因为恒等于常数c。这里最容易出错的是——x³的导数，是3x²不是3！
🔍 第三步：找到最省事的突破口
题目直接送了一个条件：fy'(1,1) = −1。把x=1, y=1代入链式等式：fx'(1,1) + (−1)·3·1² = 0。你看，直接就变成了一元一次方程，移项就完事了：fx'(1,1) = 3。
🔍 第四步：提前踩准容易踩的坑
这道题的坑全集中在那个3x²上。有些同学一看到"代入(1,1)"，就本能地把3x²当成了3，结果恰好碰对也就算了。但如果题目的点不是(1,1)呢？必须养成写3x²的习惯，最后再代值。另外一个常见的思路错误：有人觉得f(x,x³)=常数，就只对x求导忘了y也在变——这就是没理解什么叫全导数。
🎯 出题意图
复合函数链式法则的灵活运用：f(x, g(x)) = c → 对 x 求导，利用已知的偏导推未知的偏导。
🧪 自测：f(x, x³)=c 两边对x求导，用到了什么法则？
平面方程 Plane Equation
🎯 一看就知道：直线⊥平面有啥用？
你看，题目给了咱们一条直线和一个点，要找过这个点且跟直线垂直的平面。咱们回忆一下：直线跟平面垂直，说明直线的方向刚好是平面的法方向对吧？所以直线的方向向量直接拿来当平面法向量——这个几何关系一来，整个题就活了！
📐 把直线参数式"肢解"一下
来，咱们从参数式 x=−t+1, y=3t−3, z=t−1 中把方向向量揪出来。很简单，只看 t 前面的系数：x 的系数 −1，y 的系数 3，z 的系数 1。于是方向向量 v=(−1, 3, 1)。注意啦，常数项（+1, −3, −1）别管——它们管的是直线过哪个点，跟方向半毛钱关系没有。
🚀 一步到位：点法式直接上
有了点 (1,2,−1) 和法向量 (−1,3,1)，还用犹豫吗？点法式 A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0 直接套上去——展开化简就完事，这是写平面方程最爽的方式，没有之一。
⚠ 三个坑，咱提前踩一遍
坑一：z₀=−1，所以 z−(−1)=z+1，别写成 z−1，双重负号最容易翻车。坑二：参数式里只看 t 的系数，别把常数项掺和进法向量。坑三：化简后 −x+3y+z−4=0 和 x−3y−z+4=0 完全等价，两边乘个 −1 就互换了，你喜欢哪个留哪个。
🎯 出题意图
直线与平面的垂直关系 → 直线的方向向量就是平面的法向量。一步到位。
🧪 直线与平面垂直 ⇔ 直线的方向向量__平面的法向量？
极坐标变换 Polar Coordinates
🎯 别急着算——看清楚它到底问啥
题目让咱们"写出极坐标形式"，不是算出结果！所以核心工作就三件事：描清楚区域 D 到底长啥样、把被积函数换成极坐标、定好 θ 和 r 的范围写成二次积分。不用真的积分！
📐 三根线围出来的区域，画个图秒懂
来，咱们一条条认：y=√(1−x²) 就是上半圆 x²+y²=1（y≥0）；y=x+1 是过 (−1,0) 和 (0,1) 的斜线；y=0 就是 x 轴。三条线围出来的是一个曲边三角形区域——第一象限里是 1/4 圆，第二象限里是直线下方的三角形。画出来你就发现，在第二象限那边，直线比圆更靠近原点，所以它才是真正的上边界！
🚀 极坐标一换，被积函数居然瘦身了
把 x=r cosθ, y=r sinθ 代进去：xy/(x²+y²) = r² cosθ sinθ / r² = cosθ sinθ——你看，r 直接消掉了，多漂亮！但别忘了最关键的那个因子：dxdy = r dr dθ，这个 r（雅可比行列式）每年都有人忘掉。
⚠ 定 θ 和 r 的范围，分两段来
θ 分两段走：① θ∈[0, π/2] 时，区域的上边界是圆 r=1；② θ∈[π/2, π] 时，上边界是直线 r=1/(sinθ−cosθ)，因为直线比圆矮嘛。注意：sinθ−cosθ>0 才有效，这正好对应 θ∈(π/4, 5π/4) 内的正值区间，咱的区域才不管那么多，就是分两段老老实实写！
🎯 出题意图
极坐标变换的三要素：被积函数替换（含雅可比 r）、积分限确定（画出区域最关键）、化简。
🧪 自测：极坐标下 dxdy 替换为什么？
向量夹角 Vector Angle
🎯 两个垂直条件，翻译成啥？
你看题目给了两个"垂直"关系——在向量世界里，垂直就是内积为零，这是铁律。两个垂直条件啪地一下变成两个代数方程，这不就变成了纯解方程组吗？目标很明确：把 a 和 b 的夹角 φ 揪出来。
📐 展开的时候小心符号
令 |a|=a, |b|=b, a·b=ab cosφ。来，第一个方程：(a+3b)·(7a−5b)=0 → 一项项展开：7a·a − 5a·b + 21a·b − 15b·b = 7a² + 16ab cosφ − 15b² = 0。第二个同理：(a−4b)·(7a−2b)=0 → 7a² − 30ab cosφ + 8b² = 0。核心技巧：把 ab cosφ 当做一个整体来处理！
🚀 消元法直接上，cosφ 就出来了
两个方程，三个"未知量" a²、b²、ab cosφ，但这本质上是一个齐次方程。把 a² 消掉（或者先求 a²/b² 的比值），代回任何一个方程，最后得到 cos²φ = 1/4。注意，a 和 b 的长度都是正的，从方程一可以推出 cosφ 也是正的（否则没法让左边为零），所以cosφ = 1/2 → φ = π/3，完美坐实 C 选项。
⚠ 三个容易栽的地方
第一，a·b = ab cosφ，不是 ab，中间有 cosφ 千万别漏！第二，展开的时候有 8 项的符号，每项都要对，建议在草稿纸上列出来慢慢推。第三，二次方程解出 cosφ=±1/2，咱还得从物理意义判断正负——既然俩向量成锐角（模长都是正数、内积推出来正向的），cosφ 取正才对。
🎯 出题意图
向量垂直 = 内积为零 + 内积展开的代数运算。本质是一个方程组问题。
🧪 自测：两向量夹角公式中，a·b 等于？
可微性判定 Differentiability
🎯 经典反例来了！√|xy| 为啥这么有名？
这道题考的是多元微积分里最经典的反例之一。在 (0,0) 这个点，f(x,y)=√|xy| 到底有啥性质？咱们得一层层剥开来看：先判断连续不连续，再验偏导存在不存在，最后判可不可微。记住——多元函数这三个层次是递进的，跟一元完全不一样！
📐 连续？偏导？逐个验
第一步连续：当 (x,y)→(0,0) 时，√|xy| → 0 = f(0,0)，所以连续没问题。第二步偏导：用偏导定义法——f_x'(0,0) = lim[h→0] (√|h·0| − 0)/h = 0；同理 f_y'(0,0) = 0。你看，两个偏导都老老实实存在且都等于 0。但这还没完呢！
🚀 关键一步：对角线路径揭穿不可微
可微性的判定才是真正的试金石。取对角线路径 Δx = Δy = t（这是验证不可微的杀手锏）：Δz − [0·t + 0·t] = √|t²| = |t|，而 √(t²+t²) = |t|√2。比值 = |t|/(|t|√2) = 1/√2 ≠ 0。这个比值并不随着 (t,t)→(0,0) 而趋于 0，所以必不可微！
⚠ 最大教训：多元 ≠ 一元！
偏导存在 ≠ 可微——这就是多元微积分离一元最远的地方。一元函数 f'(x) 存在直接推出可微，但在多元里，两个偏导都存在为 0，函数依然可能不可微。√|xy| 就是专门用来区分"偏导存在"和"可微"的标准范例，考试最爱拿出来考。
🎯 出题意图
经典判断题！一元函数可导⇒可微，但多元函数偏导存在 ≠ 可微。f(x,y)=|xy| 是标准反例。
🧪 多元函数中，偏导数存在__可微的充要条件？
极值判定 Extrema & PDE
🎯 这道题不靠死算，靠理论！
你看题目的两个条件：uxx+uyy=0——这是拉普拉斯方程，u 是调和函数；uxy>0——交叉偏导严格正。这两个条件放在一起，其实就是告诉你：别算了，用定理来推理！
📐 判别式 ∆ 一算，内部彻底没戏
来，咱们算一下多元极值的判别式：∆ = uxx·uyy − (uxy)²。条件 uxx+uyy=0 意味着 uyy=−uxx。代进去：∆ = uxx·(−uxx) − (uxy)² = −(uxx)² − (uxy)²。看到没，两个平方前面都有负号，而且 uxy>0 说明第二项肯定不为零。所以∆ < 0 严格成立——内部任何地方判别式都是负的！
🚀 ∆<0 啥意思？全是鞍点！
∆<0 意味着内部所有可能出极值的地方全是鞍点——极大极小一个都没有。那极值跑哪去了？答案：只能在边界上！这就是调和函数的极值原理：调和函数在闭区域上的最大值和最小值一定在边界上取得。选 B 稳稳的。
⚠ 别拿一元的直觉往里套
最大教训来了：一元 f''>0 直接判极小，在多元里可不行！多元极值得看判别式 ∆，∆ 的正负才是关键。而且调和函数这个"极值必在边界"的结论是个定理，不是凭感觉猜的。记住这道题的逻辑链：拉普拉斯方程 → ∆<0 → 内部无极值 → 极值在边界。
🎯 出题意图
调和函数（拉普拉斯方程）+ 极值原理。关键洞察：uxx+uyy=0 → 内部判别式恒负 → 极值必在边界。
🧪 自测：调和函数在闭区域上的最大最小值在何处取得？
三重积分比较 Triple Integral Comparison
🎯 不让你算积分，只让比大小！
这道题问的是积分的大小关系，不是具体数值。所以根本不需要真的去积——那些三重积分式看着吓人，其实咱们只关心被积函数在区域上的大小就行了。关键前提：exy > 0 恒成立（指数函数永远正的），所以它不影响正负号！
📐 区域一看，z 全是负的
来仔细看区域 Ω：√(x²+y²) − 1 ≤ z ≤ 0。也就是说z ∈ [−1, 0] 恒负。三个积分只差在被积函数里 z 的幂次不同——z¹、z²、z³。z² 是偶次方所以恒正，I₂ > 0。z 和 z³ 在负区间里都是负的，所以 I₁ < 0，I₃ < 0。I₂ 已经是最大候选。
🚀 I₁ 和 I₃ 谁更小？看绝对值
在 z ∈ [−1, 0] 上，|z| > |z³|（比如 z=−0.5: |−0.5|=0.5, |−0.125|=0.125）。但注意它们都是负的！所以 z 更"负"——z < z³。这意味着在积分中 I₁ 的每一个"小块"贡献都更负，所以I₁ < I₃ < 0 < I₂。排序结果就是 I₂ > I₃ > I₁，选 A。
⚠ 两个最容易搞反的地方
第一，别被 exy 吓到——它恒正、可以提出来不管，判断符号和比较大小时它完全透明。第二，负数的世界里大小关系和绝对值相反：|z|>|z³| 意味着 z
🎯 出题意图
不直接算积分！用被积函数的符号和区域特性比较大小。省时间的技巧题。
🧪 自测：不计算就能比较 I₁=∭z exy, I₂=∭z²exy, I₃=∭z³exy 大小的关键依据是？
球坐标积分 Spherical Coordinates
🎯 球体区域 + z² = 对称性大杀器
区域是半径为 a 的球体，天然就该想球坐标。但等等——被积函数只有 z²？球体关于三个坐标面全对称啊！这意味着 ∭x² = ∭y² = ∭z²，三个积分完全一样。所以 ∭z² = (1/3)∭(x²+y²+z²)，这个对称性技巧能省你大量计算。
📐 球坐标走一遍也挺顺畅
按标准流程来也行：z = ρ cosφ，z² = ρ² cos²φ。dv = ρ² sinφ dρ dφ dθ（千万别漏 sinφ！）。被积函数变成 ρ⁴ cos²φ sinφ，在 ρ∈[0,a], φ∈[0,π], θ∈[0,2π] 上三重积分，三个变量完美分离。
🚀 算就完了：三项相乘
对 θ 积分直接 2π。对 ρ：∫₀ᵃ ρ⁴ dρ = a⁵/5。对 φ 的积分用u=cosφ 换元最爽：∫₀ᵖ cos²φ sinφ dφ = ∫₁^(−1) (−u²) du = [−u³/3]_₁^(−1) = 2/3。三项一乘：2π × (a⁵/5) × (2/3) = 4πa⁵/15，选 D。
⚠ 对称性捷径 vs 球坐标，两道保险
两种方法可以互相对答案：对称性法 → ∭z² = (1/3)·4π∫₀ᵃ ρ⁴ dρ = 4πa⁵/15，和球坐标结果完全一样。但注意❗球坐标下 dv 别忘了 ρ² sinφ（不是 ρ²），φ 范围是 [0,π] 不是 [0,π/2]——球形区域 φ 要全覆盖。
🎯 出题意图
球对称区域 + 球坐标 = 经典套路。利用对称性简化：∭x²=∭y²=∭z²=(1/3)∭(x²+y²+z²)。
🧪 自测：球坐标下体积元 dv = ？
隐函数求导 (9分) Implicit Differentiation
🎯 隐函数求导——自带公式护体
题干给出 x/z = ln(z/y)，这个方程里 z 没有直接写成 x,y 的显式函数。要找 ∂z/∂x 和 ∂²z/∂x²？隐函数求导公式 ∂z/∂x = −F_x/F_z 就是你的法宝。先把方程改写成 F(x,y,z)=0 的形式，然后求偏导就顺了。
📐 方程变形和三个偏导
把原方程改写为：x/z = ln z − ln y，即 F(x,y,z) = x/z − ln z + ln y = 0。现在求偏导：F_x = 1/z（x/z 对 x 求导就是 1/z）；F_z = −x/z² − 1/z（注意 x/z 对 z 求导是 −x/z²，ln z 对 z 求导是 1/z）。F_z 这个负号组合最容易算错！
🚀 一阶完了还有二阶，链式上！
套公式：∂z/∂x = −F_x/F_z = −(1/z)/(−x/z²−1/z) = z/(x+z)。漂亮！二阶导呢？对 ∂z/∂x = z/(x+z) 再对 x 求导，用商的求导法则。关键来了——求二阶导时 z 不是常数，z 是 x 的函数，所以 d/dx 作用在 z 上会产生 ∂z/∂x，要回代把一阶结果塞进去。最终：∂²z/∂x² = −z²/(x+z)³。
⚠ 三个最容易踩的坑
坑一：F_z 的负号——x/z 对 z 求导是 −x/z² 不是 x/z²，ln z 对 z 求导是 1/z，两项合并成 −x/z² − 1/z。坑二：二阶导时 z 不是常数，必须用链式法则！坑三：把原方程 x/z = ln(z/y) 拆成 ln z − ln y，拆开了求偏导清爽得多，别直接对着原形式硬搞。
🎯 出题意图
隐函数求导的完整流程：一阶用公式法，二阶用链式法则。公式 ∂z/∂x=−Fx/Fz 是核心。
🧪 自测：隐函数求导公式 ∂z/∂x = ？
切平面与截距 (9分) Tangent Plane & Intercepts
🎯 "任一点"三个字藏了彩蛋
题目说"任意一点处的切平面"，这三个字暗示结果跟点的位置没关系——出题人已经把彩蛋埋好了。咱们的解题路径：梯度 → 切平面方程 → 截距 → 平方和。走到最后你会发现，切点坐标全部优雅地消掉了。
📐 分数指数的导数，小心指数减一
曲面 F(x,y,z) = x2/3 + y2/3 + z2/3 − 4 = 0。求梯度：∂F/∂x = (2/3)x−1/3，同理 y 和 z。注意：2/3 是指数，求导后指数减一变成 −1/3，不是 1/3！梯度 ∇F = (2/3)(x₀−1/3, y₀−1/3, z₀−1/3)。
🚀 切平面方程到截距，代回曲面等式奇迹发生
切平面方程：x₀−1/3(x−x₀) + y₀−1/3(y−y₀) + z₀−1/3(z−z₀) = 0。整理得 x₀−1/3x + y₀−1/3y + z₀−1/3z = x₀2/3 + y₀2/3 + z₀2/3 = 4。截距：x 截距 = 4x₀1/3，y 截距 = 4y₀1/3，z 截距 = 4z₀1/3。平方和 = 16(x₀2/3+y₀2/3+z₀2/3) = 16×4 = 64。你看，跟切点完全无关！
⚠ 指数和算术两道关
第一关：x2/3 求导得 (2/3)x−1/3，指数 −1/3 别写成 1/3。第二关：截距平方和利用曲面方程 4 来化简——16×4=64，不是 16。这和"4²=16"混淆的人每年都有，记住是4³=64（16×表面常数 4）。
🎯 出题意图
巧妙之处：截距平方和恒为常数，与切点无关。这源于曲面方程的特殊形式。
🧪 自测：这道题中截距平方和与切点位置有关吗？
链式法则 (8分) Chain Rule
🎯 链式法则标准题，画棵依赖树
z = eu sin v，而 u = xy, v = x+y。z 通过两个中间变量 u 和 v 最终依赖于 x 和 y。用依赖关系树：z → {u, v} → {x, y}。x 到 z 有两条路径：z→u→x 和 z→v→x，每条路径的导数乘积加起来就是 ∂z/∂x。
📐 沿两条路径分别求导
路径一 z→u→x：∂z/∂u = eu sin v，∂u/∂x = y。路径二 z→v→x：∂z/∂v = eu cos v（sin v 求导是 cos v），∂v/∂x = 1。加起来：∂z/∂x = eu sin v · y + eu cos v · 1 = eu(y sin v + cos v)。
🚀 对称性让 y 的结果一秒钟出来
对于 ∂z/∂y，两条路径几乎一样：z→u→y 时 ∂u/∂y = x（u=xy 对 y 求导），z→v→y 时 ∂v/∂y = 1（v=x+y 对 y 求导）。所以∂z/∂y = eu(x sin v + cos v)。你看，跟 ∂z/∂x 的对称性多漂亮——把 y 换成 x 就行了！
⚠ 两条路径，少一个全完
最常犯的错误：只走一条路径就交卷了。z 通过 u 和 v 两条路到达 x，必须把两条路径的贡献加起来。另一个坑：最后结果中保留 u=xy, v=x+y，别光写抽象符号。sin v 对 v 求导是 cos v，不是 −cos v——没有负号！
🎯 出题意图
多元链式法则的标准题。画"依赖关系树"：z→(u,v)→(x,y)，每个路径乘积求和。
🧪 自测：z=eusin v, u=xy, v=x+y 中，z 通过几条路径到达 x？
积分方程 (8分) Integral Equation
🎯 出题意图
积分方程的核心技巧：二重积分是个常数！由此转化为代数方程。与一元积分方程同理。
🧪 这类积分方程的核心技巧是？
柱坐标三重积分 (8分) Cylindrical Triple Integral
🎯 出题意图
锥面+平面围成的区域 → 柱坐标（有旋转对称性）。被积函数 x²+y² 在柱坐标下就是 r²，非常简洁。
🧪 自测：柱坐标下体积元 dv = ？
方向导数极值 (9分) Directional Derivative Max
🎯 出题意图
方向导数 + 条件极值的综合题。先化简方向导数表达式，再在约束下求极值。
🧪 自测：方向导数 ∂f/∂ℓ 取得最大值时，方向 ℓ 与什么一致？
积分不等式证明 (9分) Integral Inequality
🎯 出题意图
压轴证明题。左边用对称性+均值不等式，右边需要精细的积分不等式估计。考的是综合的放缩能力。
🧪 自测：证明左边 1 ≤ I 用到了什么核心技巧？
📋 知识点 & 考点完整分析
一、偏导数与全微分
题 1, 3, 7, 11, 13
考点：全微分公式、隐函数求导（一阶+二阶）、链式法则、可微性判定（偏导存在≠可微）
分数：约 30 分（占比最高）
关键技能：∂z/∂x=−Fx/Fz、依赖关系树、经典反例 |xy|
二、空间解析几何
题 2, 4, 6, 12
考点：平面方程（点法式）、两平面夹角、向量垂直/夹角、切平面与截距
分数：约 22 分
关键技能：法向量提取、内积为零↔垂直、梯度=切平面法向量
三、向量运算
题 6, 16
考点：内积运算、方向导数 ∇f·ℓ₀、单位化方向向量
分数：约 13 分
关键技能：垂直↔内积零、方向导数最大↔梯度方向
四、重积分计算
题 5, 9, 10, 14, 15
考点：极坐标变换（含雅可比 r）、柱坐标、球坐标、对称性简化、积分比较
分数：约 24 分
关键技能：画区域定积分限、坐标变换不遗漏雅可比、对称性省计算
五、极值与最值
题 8, 16, 17
考点：调和函数极值原理、拉格朗日乘数法、积分不等式证明
分数：约 22 分
关键技能：判别式 Δ<0→鞍点、条件极值 L=f+λg、均值不等式放缩
六、积分方程与不等式
题 14, 17
考点：积分方程（设常数为 A）、对称性与均值不等式、二次放缩
分数：约 17 分
关键技能：识别"积分=常数"、凑对称形式 a/b+b/a≥2
🗺 知识点关联图谱
点击彩球跳转到对应题目
✅ 参考答案速查
∂²z/∂x²=−z²/(x+z)³
∂z/∂y=eu(x sinv+cosv)
最大方向导数 = 2
🎲 随机抽题模拟考试
选择抽取题目数量（共17题）